Gräbschen, Germany (now Grabiszyn, Wrocław, Poland) 1894 - Zollikon, Switzerland 1971


Brief scientific biography

Heinz Hopf was born on 19 November 1894 in Gräbschen, Germany (now Grabiszyn, Wrocław, Poland); from 1901 until 1904 he attended the school of Dr. Karl Mittelhaus, and until 1913 the König-Wilhelm Gymnasium in Breslau. In 1913 he entered the Silesian Friedrich Wilhelms University in Breslau to study mathematics. Hopf's teachers were Adolf Kneser (1862-1930), Erhard Schmidt (1876-1959), and Rudolf Sturm (1841-1919); he also attended lectures by Max Dehn (1878-1952) and Ernst Steinitz (1871-1928), teachers at the Polytechnic in Breslau.

His studies were interrupted by the out-break of World War I, and Hopf fought on the Western front as a lieutenant. However, in 1917, he attended a class by Schmidt on Set Theory at the University of Breslau.
After the end of the war, he returned to his studies both in Breslau and at the University of Heidelberg. In 1920 he went to study for his doctorate at the University of Berlin, where Schmidt was teaching. Hopf attended some courses by Issai Schur (1875-1941) in Berlin and received his doctorate in 1925 with a thesis, supervised by Schmidt, studying the topology of manifolds (O'CONNOR, ROBERTSON 2000).
Eidgenössische Technische Hochschule (ETH), Zürich
Eidgenössische Technische Hochschule (ETH), Zürich

In 1925 Hopf went to Göttingen, where he met both Emmy Noether (1882-1935) and Pavel Sergeyevich Aleksandrov (1896-1982). In 1926, Hopf's habilitation thesis presented a new proof of the fact shown by Lefschetz that for any closed manifold the sum of the indices of a generic vector field is a topological invariant, the Euler characteristic.
In 1926 Aleksandrov and Hopf were in the south of France, and in the academic year 1927-1928 they were in Princeton in the US, where they collaborated with Lefschetz, Veblen and Alexander, and planned a great work on Topology. The first volume appeared in 1935 (ALEXANDROV, HOPF 1935.
Hans Freudenthal
Hans Freudenthal

In 1928 Hopf married Anja von Mickwitz (1891-1967). The next year he declined a job at Princeton University, and in 1930 Hans Freudenthal (1905-1990) did his thesis work (on the ends of topological groups) with Hopf at the University of Berlin. In 1931 Hopf accepted the offer to take over Hermann Weyl's position at Eidgenössische Technische Hochschule (ETH), in Zürich. After the Nazis came to power in 1933, Hopf worked in order to provide refuge in Switzerland for friends who had to left Germany. Lefschetz invited Hopf to Princeton but he refused once again. In 1943 Hopf (whose father was Jewish) applied for Swiss citizenship, which was soon granted.
After the end of World War II, both in 1946-19447 and in 1955-1956 Hopf visited the United States. He gave lectures at Princeton, at New York and at Stanford University.
Pavel Alexandrov
Pavel Alexandrov

From 1955 until 1958 Hopf was President of the International Mathematical Union, and member ex officio of the ICMI Executive Committee. He received honorary doctorates from Princeton, Freiburg, Manchester, Sorbonne (Paris), Brussels, and Lausanne University, and was awarded several important prizes, including the Gauss-Weber medal and the Lobacewskij prize (O'CONNOR, ROBERTSON 2000).
The greater part of Hopf's mathematical work was in algebraic topology, a sector where his contribution can be interpreted as a continuation of Luitzen Brouwer's work. Hopf studied homotopy classes and vector fields, and gave a formula about the integral curvature. In 1931 he defined what is now known as the "Hopf invariant" in his important work on maps between spheres of different dimensions which cannot be distinguished from an homological viewpoint. In 1939 he examined the homology of compact Lie groups in order to study some questions posed to him by Elie Cartan. Main ideas which he introduced in this investigation led him to define what is today called a "Hopf algebra" (O'CONNOR, ROBERTSON 2000).
Heinz Hopf died on 3 June 1971 in Zollikon, Switzerland. With reference to Hopf's Collected Papers (HOPF 2001), Beno Eckmann wrote:
"It is indeed astonishing to realise that this oeuvre of a whole scientific life consists of only about 70 writings, Comptes Rendus Notes and survey articles included, and of course the book Topology I written jointly with Paul Aleksandrov. Astonishing also the transparent and clear style, the concreteness of the problems, and how abstract and farreaching the methods Hopf invented to master them abstract, but without unnecessary generalities".

Quotations relevant to mathematics education

Gianfranco Arrigo (Lugano, Switzerland), one of Hopf's students in Zürich, ETH, wrote (private communication, the translation is ours):
"Heinz Hopf influenced me deeply and lastingly. He was my professor during the last period of his career: he was rather old, small and slim, but his mind was formidable, bright, and really lighted up all the students' minds. His lessons were unforgettable mathematical journeys. He taught us to build up our own mathematics. All his students understood him without particular difficulties, he always took care to make sure that we were able to follow his arguments: in the first part of every lesson, he used to ask us explicitly to remember all the elements needed in order to understand his ideas. He was very kind with all the students, always encouraging them to do better and better. He let us know that true mathematics is not something locked up into formulas or into books, but rather incited us to find out the mathematical ideas that we were able to construct little by little".

Primary bibliography

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Giorgio T. Bagni
Department of Mathematics and Computer Science
University of Udine - Italy